Lektion 10 von 10

Symmetrische Komponenten & Kurzschlussberechnung

Ein dreipoliger Kurzschluss ist leicht zu berechnen: Das Netz bleibt symmetrisch, ein einphasiges Ersatzschaltbild genügt. Die meisten realen Fehler betreffen aber nur einen oder zwei Leiter, und dann ist das Netz nicht mehr symmetrisch. 1918 zeigte Charles Fortescue, wie man ein unsymmetrisches Problem in drei symmetrische zerlegt. Diese Methode — die symmetrischen Komponenten — ist bis heute die Grundlage jeder Kurzschlussberechnung und jedes Ergebnisses im Fault Analysis Lab dieser Plattform.

Die Idee: drei symmetrische Systeme

Jedes unsymmetrische Dreiersystem von Zeigern lässt sich als Summe dreier symmetrischer Systeme schreiben, die jeweils für sich leicht zu berechnen sind:

Mitsystem (1)

Drei gleich große, um 120° versetzte Zeiger in der normalen Drehrichtung a–b–c. Ein gesundes, symmetrisches Netz enthält nur diese Komponente.

Gegensystem (2)

Drei gleich große, um 120° versetzte Zeiger in umgekehrter Drehrichtung a–c–b. Es tritt bei jeder Unsymmetrie auf und erwärmt rotierende Maschinen.

Nullsystem (0)

Drei gleich große, exakt phasengleiche Zeiger. Es kann nur fließen, wenn ein Rückweg über Erde oder einen Neutralleiter vorhanden ist.

Mit dem Drehoperator a = 1∠120° (also a² = 1∠240°) werden die Leiterspannungen aus den Komponenten zusammengesetzt und die Komponenten aus den Leiterspannungen gewonnen:

Für Ströme gelten dieselben Beziehungen.

Die Komponentennetze

Der Trick funktioniert, weil in einem selbst symmetrischen Netz jeder Komponentenstrom nur Spannungsfälle derselben Komponente erzeugt. Jede Komponente sieht daher ihr eigenes Impedanznetz:

Mitimpedanz Z₁

Die normalen Impedanzen pro Leiter wie im Lastfluss — Generatoren dargestellt durch ihre subtransiente Reaktanz X″d und ihre innere Spannung.

Gegenimpedanz Z₂

Bei Leitungen, Kabeln und Transformatoren gleich Z₁. Bei rotierenden Maschinen etwas anders, aber in der Größenordnung von X″d. In diesem Netz gibt es keine Quellen.

Nullimpedanz Z₀

Hängt stark von der Sternpunktbehandlung und den Transformatorschaltungen ab. Eine Dreieckwicklung lässt Nullstrom nicht hindurch; ein isolierter Sternpunkt sperrt ihn vollständig; ein über Zₙ geerdeter Sternpunkt fügt dem Pfad 3Zₙ hinzu.

Verschaltung der Netze je Fehlerart

Jede Fehlerart legt an der Fehlerstelle Bedingungen fest, aus denen sich die Verschaltung der drei Netze ergibt. Mit V_f als Spannung vor dem Fehler und Z_f als Fehlerimpedanz:

Dreipolig (3φ)

Nur das Mitsystem ist beteiligt: I_f = V_f / Z₁.

Einpoliger Erdkurzschluss

Alle drei Netze in Reihe: I₁ = I₂ = I₀ = V_f / (Z₁ + Z₂ + Z₀ + 3Z_f), der Fehlerstrom ist I_a = 3I₀.

Zweipolig ohne Erdberührung

Mit- und Gegensystem parallel, kein Nullsystem: I₁ = −I₂ = V_f / (Z₁ + Z₂), was einen Leiterstrom vom Betrag √3·|I₁| ergibt.

Zweipolig mit Erdberührung

Das Mitsystem in Reihe mit der Parallelschaltung von Gegen- und Nullsystem: I₁ = V_f / (Z₁ + Z₂ ∥ (Z₀ + 3Z_f)).

Ein Rechenbeispiel

Gegeben sei V_f = 1,0 p.u. an einer Sammelschiene nahe einem starr geerdeten Transformator, mit Z₁ = Z₂ = j0,20 p.u. und Z₀ = j0,10 p.u., und ein satter Fehler (Z_f = 0):

Hier ist der Erdkurzschluss größer als der dreipolige Kurzschluss — genau der Fall, auf den die Lektion zu Fehlern hingewiesen hat. Erdet man denselben Transformator über einen Widerstand oder eine Drossel, sodass Z₀ auf j0,60 p.u. steigt, sinkt der Erdkurzschlussstrom auf 3 / 1,0 = 3,0 p.u. Genau deshalb wählen Netzbetreiber eine Sternpunktbehandlung: Sie bestimmt die Größe des häufigsten Fehlers.

So wird es in der Praxis gemacht

Reale Kurzschlussberechnungen folgen einer Norm, damit die Ergebnisse vergleichbar sind. In Europa ist das die IEC 60909 (DIN EN 60909), die den detaillierten Lastfluss vor dem Fehler durch eine Ersatzspannungsquelle cU_n/√3 an der Fehlerstelle ersetzt — der Spannungsfaktor c (für maximale Ströme in Hochspannungsnetzen typischerweise 1,1) deckt die Streuung realer Betriebsspannungen ab — und dann genau die hier beschriebenen Komponentennetze verwendet, um Anfangs-Kurzschlusswechselstrom, Stoßkurzschlussstrom und Ausschaltwechselstrom zu bestimmen.